Инфракрасная расходимость

Инфракрасная расходимость (инфракрасная катастрофа) — ситуация якобы испускания бесконечно большого числа фотонов с бесконечно малыми энергиями при столкновении двух заряженных частиц или при резком изменении скорости заряженной частицы. Является следствием расходимости интеграла из-за вкладов объектов с очень малой энергией (почти равной нулю), или что то же самое, из-за физического явления на очень больших масштабах.

Инфракрасная расходимость имеется только в теориях с безмассовыми частицами (такими как фотоны). Данные расходимости представляют собой эффект, который полная теория часто подразумевает. Один из способов борьбы с ней заключается в наложении обрезания.

Описание парадокса

Сечение процесса d σ {displaystyle dsigma } рассеяния заряженных частиц с испусканием одного дополнительного фотона выражается формулой: d σ = d σ 0 d I ω {displaystyle dsigma =dsigma _{0}{frac {dI}{omega }}} . Здесь d σ 0 {displaystyle dsigma _{0}} - сечение процесса рассеяния заряженных частиц с испусканием определённого числа фотонов, d I {displaystyle dI} - полная энергия излучения, ω {displaystyle omega } - частота излучения. При интегрировании этой формулы по частотам в некотором конечном интервале от ω 1 {displaystyle omega _{1}} до ω 2 {displaystyle omega _{2}} получается d σ ∼ α ln ⁡ ω 2 ω 1 d σ u {displaystyle dsigma sim alpha ln {frac {omega _{2}}{omega _{1}}}dsigma _{u}} , где d σ u {displaystyle dsigma _{u}} - сечение рассеяния упругого процесса. Можно приближенно считать, что ω 2 {displaystyle omega _{2}} приближенно равна начальной энергии излучающей частицы. Но величина ω 1 {displaystyle omega _{1}} может быть сделана сколь угодно близкой к нулю. В результате сечение излучения всех возможных мягких фотонов стремится к бесконечности.

При другом способе вычислений среднего числа фотонов при резком изменении скорости заряженной частицы: n ¯ ∼ ln ⁡ L λ {displaystyle {ar {n}}sim ln {frac {L}{lambda }}} , где L , λ {displaystyle L,lambda } - максимальная и минимальная частоты интегрирования. При λ → 0 {displaystyle lambda ightarrow 0} получаем, что n ¯ → ∞ {displaystyle {ar {n}} ightarrow infty } , так что всегда излучается бесконечно много фотонов нулевой частоты.

Объяснение парадокса

Среднее число излученных фотонов d n ¯ = d I ω {displaystyle d{ar {n}}={frac {dI}{omega }}} , где d I {displaystyle dI} - классическая интенсивность излучения, ω {displaystyle omega } - частота излучения. Интегрируя эту формулу получаем: n ¯ = ∫ ω 1 ω 2 d I ω {displaystyle {ar {n}}=int _{omega _{1}}^{omega _{2}}{frac {dI}{omega }}} . Поскольку мягкие фотоны излучаются статистически независимо, вероятность ω ( n ) {displaystyle omega (n)} излучения n ¯ {displaystyle {ar {n}}} фотонов выражается через их среднее число формулой Пуассона ω ( n ) = n ¯ n n ! exp ⁡ ( − n ¯ ) {displaystyle omega (n)={frac {{ar {n}}^{n}}{n!}}exp(-{ar {n}})} . Сечение процесса рассеяния с излучением фотонов может быть представлено в виде: d σ = d σ u ω ( n ) {displaystyle dsigma =dsigma _{u}omega (n)} . Поскольку ∑ ω ( n ) = 1 {displaystyle sum omega (n)=1} , то d σ u {displaystyle dsigma _{u}} представляет собой полное сечение рассеяния, сопровождаемого любым мягким излучением. Сечение чисто упругого рассеяния в действительности равно нулю. При ω 1 → 0 {displaystyle omega _{1} o 0} среднее число n ¯ → ∞ {displaystyle {ar {n}} o infty } и согласно формуле Пуассона обращается в нуль вероятность излучения любого конечного числа фотонов.

Физической причиной парадокса является предположение о бесконечном радиусе действия кулоновского поля, которое приводит к неадекватности фотонной картины для очень больших длин волн. Для выполнения условия n ¯ > 1 {displaystyle {ar {n}}>1} длины волн должны иметь длину больше e 1 α ℏ m c {displaystyle e^{frac {1}{alpha }}{frac {hbar }{mc}}} , что значительно больше радиуса наблюдаемой части Вселенной. Таким образом данный парадокс имеет чисто теоретическое значение