Экспоненциальная запись

Экспоненциальная запись в информатике и вычислительной математике — представление действительных чисел в виде мантиссы и порядка. Удобна для представления очень больших и очень малых чисел, а также для унификации их написания.

N = M ⋅ n p {displaystyle N=Mcdot n^{p}} , где

• N — записываемое число;
• M — мантисса;
• n — основание показательной функции;
• p (целое) — порядок;
• n p {displaystyle n^{p}} — характеристика числа.

Примеры:

1 000 000 (один миллион): 1 , 0 ⋅ 10 6 {displaystyle 1{,}0cdot 10^{6}} ; N = 1 000 000, M = 1,0, n = 10, p = 6.

1 201 000 (один миллион двести одна тысяча): 1,201 ⋅ 10 6 {displaystyle 1{,}201cdot 10^{6}} ; N = 1 201 000, M = 1,201, n = 10, p = 6.

−1 246 145 000 (минус один миллиард двести сорок шесть миллионов сто сорок пять тысяч): − 1,246 145 ⋅ 10 9 {displaystyle -1{,}246145cdot 10^{9}} ; N = −1 246 145 000, M = −1,246145, n = 10, p = 9.

0,000001 (одна миллионная): 1 , 0 ⋅ 10 − 6 {displaystyle 1{,}0cdot 10^{-6}} ; N = 0,000001, M = 1,0, n = 10, p = −6.

0,000000231 (двести тридцать одна миллиардная): 231 ⋅ 10 − 9 = 2 , 31 ⋅ 100 ⋅ 10 − 9 = 2 , 31 ⋅ 10 2 ⋅ 10 − 9 = 2 , 31 ⋅ 10 − 9 + 2 = 2 , 31 ⋅ 10 − 7 {displaystyle 231cdot 10^{-9}=2{,}31cdot 100cdot 10^{-9}=2{,}31cdot 10^{2}cdot 10^{-9}=2{,}31cdot 10^{-9+2}=2{,}31cdot 10^{-7}} ; N = 0,000000231, M = 2,31, n = 10, p = −7.

В логарифмических таблицах значения десятичных логарифмов чисел и функций также представлены мантиссами (порядок логарифма вычисляется без труда).

Нормализованная запись

Любое данное число может быть записано в виде M ⋅ 10 p {displaystyle Mcdot 10^{p}} многими путями; например 350 может быть записано как 3 , 5 ⋅ 10 2 {displaystyle 3{,}5cdot 10^{2}} или 35 ⋅ 10 1 {displaystyle 35cdot 10^{1}} .

В нормализованной научной записи порядок p {displaystyle p} выбирается такой, чтобы абсолютная величина M {displaystyle M} оставалась не меньше единицы, но строго меньше десяти ( 1 ≤ | M | < 10 {displaystyle 1leq |M|<10} ). Например, 350 записывается как 3 , 5 ⋅ 10 2 {displaystyle 3{,}5cdot 10^{2}} . Этот вид записи, называемый также стандартным видом, позволяет легко сравнивать два числа. Кроме того, он удобен для десятичного логарифмирования: целая часть логарифма, записанного «в искусственной форме», равна порядку числа, дробная часть логарифма определяется из таблицы только по мантиссе, что было крайне важным до массового распространения калькуляторов в 1970-х годах.

В инженерной нормализованной записи (в том числе в информатике), мантисса обычно выбирается в пределах 0 , 1 < | a | ⩽ 1 {displaystyle 0{,}1<|a|leqslant 1} : 350 = 0 , 35 ⋅ 10 3 {displaystyle 350=0,35cdot 10^{3}} .

В некоторых калькуляторах, как опция, может быть использована запись с мантиссой 1 ≤ | a | < 1000 {displaystyle 1leq |a|<1000} и с порядком, кратным 3, так, например, 3 , 52 ⋅ 10 − 8 {displaystyle 3{,}52cdot 10^{-8}} записывается как 35 , 2 ⋅ 10 − 9 {displaystyle 35{,}2cdot 10^{-9}} . Такая запись проста для чтения ( 640 ⋅ 10 6 {displaystyle 640cdot 10^{6}} легче прочесть, как «640 миллионов», чем 6 , 4 ⋅ 10 8 {displaystyle 6{,}4cdot 10^{8}} ) и удобна для выражения физических величин в единицах измерения с десятичными приставками: кило-, микро-, тера- и так далее.

Экспоненциальная запись числа в компьютере

Представление чисел в приложениях

Основная масса прикладных программ для компьютера обеспечивает представление чисел в удобной для восприятия человеком форме, т.е. в десятичной системе счисления.

На компьютере (в частности в языках программирования высокого уровня) числа в экспоненциальном формате (его ещё называют научным) принято записывать в виде MEp, где:

M — мантисса,

E — экспонента (от англ. «exponent»), означающая «·10^» («…умножить на десять в степени…»),

p — порядок.

Например:

1,602176565E-19 = 1,602 176565 ⋅ 10 − 19 {displaystyle { ext{1,602176565E-19}}=1{,}602176565cdot 10^{-19}} (элементарный заряд в Кл);

1,380650424E-23 = 1,380 650424 ⋅ 10 − 23 {displaystyle { ext{1,380650424E-23}}=1{,}380650424cdot 10^{-23}} (Постоянная Больцмана в Дж/К);

6,02214129E23 = 6,022 14129 ⋅ 10 23 {displaystyle { ext{6,02214129E23}}=6{,}02214129cdot 10^{23}} (число Авогадро).

В программировании часто используют символ «+» для неотрицательного порядка и ведущие нули, а в качестве десятичного разделителя — точку:

1.048576E+06 = 1 048 576 ;   3.14E+00 = 3 , 14 {displaystyle { ext{1.048576E+06}}=1,048,576;~{ ext{3.14E+00}}=3,14} .

Для улучшения читаемости иногда используют строчную букву e: 6,02214129e23 {displaystyle { ext{6,02214129e23}}}

ГОСТ 10859-64 "Машины вычислительные. Коды алфавитно-цифровые для перфокарт и перфолент" вводил специальный символ для экспоненциальной записи числа "⏨", представляющий собой число 10, написанное мелким шрифтом на уровне строки. Такая запись должна была использоваться в АЛГОЛе. Этот символ включён в Unicode 5.2 с кодом U+23E8 "Decimal Exponent Symbol". Таким образом, например, современное значение скорости света могло быть записано как 2.99792458⏨+08 м/с.

Внутренний формат представления чисел

Внутренний формат представления вещественных чисел в компьютере тоже является экспоненциальным, но основанием степени выбрано число 2 вместо 10. Это связано с тем, что все данные в компьютере представлены в двоичной форме (битами). Под число отводится определённое количество компьютерной памяти (часто это 4 или 8 байт). Там содержится следующая информация.

• Знаковый бит (он обычно занимает старшее место), который указывает знак числа. Установленный бит говорит о том, что число отрицательное (исключение может составлять число ноль — иногда он тоже может иметь установленный знаковый бит).
• Порядок — целое число, которое задаёт нужную степень двойки. Обычно это не истинная величина порядка, а сдвинутая на некоторую константу таким образом, чтобы число было неотрицательным. Так, наименьший возможный порядок (он отрицательный) представлен числом 0.
• Мантисса (обычно за исключением старшего бита, который всегда установлен в нормализованном числе).

Более подробно форматы представления чисел описаны стандартом IEEE 754-2008.

Следует заметить, что представление вещественных чисел по стандарту IEEE 754 появилось относительно недавно, и на практике можно встретить и другие форматы. Например, в IBM System/360 (1964 г., советский аналог – ЕС ЭВМ) основание системы счисления для вещественных чисел было равно 16, а не 2, и для сохранения совместимости эти форматы поддерживаются во всех последующих мэйнфреймах IBM, включая выпускаемые по сей день машины архитектуры z/Architecture (в последних поддерживаются также десятичные и двоичные вещественные числа).