Порядок роста

Определение

Порядком роста функции f {displaystyle f} в точке z 0 {displaystyle z_{0}} называется некоторое число α ≥ 0 {displaystyle alpha geq 0} такое, что для некоторой окрестности U z 0 {displaystyle {mathcal {U}}_{z_{0}}} существует такое число M > 0 {displaystyle M>0} , что для произвольной точки z ∈ U z 0 {displaystyle zin {mathcal {U}}_{z_{0}}} выполняется неравенство | f ( z ) | ≤ M | z − z 0 | α {displaystyle |f(z)|leq {frac {M}{|z-z_{0}|^{alpha }}}}

Замечание

Легко можно показать, что f {displaystyle f} ограничена в некоторой окрестности U z 0 {displaystyle {mathcal {U}}_{z_{0}}} тогда и только тогда, когда её порядок роста в точке z 0 {displaystyle z_{0}} равен нулю.

Понятие порядка роста крайне важно в одном из разделов комплексного анализа — теории целых функций.