Антикоммутативность

12-05-2021, 20:14

Антикоммутативность — свойство мультипликативной бинарной операции в кольце: x 2 = x ⋅ x = 0 {displaystyle x^{2}=xcdot x=0} .

Из определения вытекает тождество x ⋅ y + y ⋅ x = 0 {displaystyle xcdot y+ycdot x=0} , так как выражение ( x + y ) ⋅ ( x + y ) {displaystyle (x+y)cdot (x+y)} равно:

0 = x ⋅ ( x + y ) + y ⋅ ( x + y ) = = x ⋅ x + x ⋅ y + y ⋅ x + y ⋅ y = = x ⋅ y + y ⋅ x {displaystyle {egin{aligned}0&=xcdot (x+y)+ycdot (x+y)=&=xcdot x+xcdot y+ycdot x+ycdot y=&=xcdot y+ycdot xend{aligned}}}

Если 2 = 1 + 1 {displaystyle 2=1+1} в кольце не является делителем нуля, тогда тождество x ⋅ x = 0 {displaystyle xcdot x=0} само следует из x ⋅ y + y ⋅ x = 0 {displaystyle xcdot y+ycdot x=0} и они оказываются равносильны; но в общем случае это не так (например, в алгебрах над полем характеристики 2 первое тождество сильнее второго).

Понятие возникло в связи с алгебрами Ли, в которых умножение удовлетворяет тождеству x ⋅ y = − y ⋅ x {displaystyle xcdot y=-ycdot x} (как и x 2 = 0 {displaystyle x^{2}=0} ). Классический пример антикоммутативной операции — векторное произведение, для которого x × y = − y × x {displaystyle x imes y=-y imes x} (в отличие от коммуативного скалярного произведения).

Некоторые антикоммутативные алгебры: алгебры Мальцева, алгебра внешних форм, алгебра дифференцирований дифференциальных форм, алгебра тангенциальнозначных форм.

Умножение в градуированной алгебре Ω = ⊕ i Ω i {displaystyle Omega =oplus _{i}Omega ^{i}} называется градуированно антикоммутативным, если для любых элементов ω m ∈ Ω m {displaystyle omega _{m}in Omega ^{m}} , ω k ∈ Ω k {displaystyle omega _{k}in Omega ^{k}} выполнено:

ω m ⋅ ω k + ( − 1 ) m k + 1 ω k ⋅ ω m = 0 {displaystyle omega _{m}cdot omega _{k}+(-1)^{mk+1}omega _{k}cdot omega _{m}=0} .

  • Континуанта
  • Континуанта
  • Поверхность Боя
  • Геометрическая прогрессия
  • Уравнение переноса

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования