Симметрическое пространство

Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.

История

Начало изучению симметрических пространств было положено Эли Картаном. В частности им была получена классификация в 1926 году.

Примеры

• Евклидово пространство,
• сферы,
• Различные проективные пространства с естественной метрикой.
• Пространство Лобачевского
• Компактные полупростые групп Ли с би-инвариантной Римановой метрикой.
• Любая компактная поверхность рода 2 и выше (с метрикой постоянной кривизны − 1 {displaystyle -1} ) является локально симметрическим пространством, но не симметрическим пространством.

Определение

Пусть M {displaystyle M} — связное Риманово многообразие и p {displaystyle p} —точка в M {displaystyle M} .

Отображение s p : M → M {displaystyle s_{p}colon M o M} называется геодезической симметрией с центром в точке p {displaystyle p} , если

s p ∘ exp p = − exp p . {displaystyle s_{p}circ exp _{p}=-exp _{p}.}

Отображение s p : U → U {displaystyle s_{p}colon U o U} , определённое на ε {displaystyle varepsilon } -окрестности U {displaystyle U} точки p {displaystyle p} , называется локальной геодезической симметрией с центром в точке p {displaystyle p} , если

s p ∘ exp p ⁡ ( v ) = − exp p ⁡ ( v ) {displaystyle s_{p}circ exp _{p}(v)=-exp _{p}(v)}

при | v | < ε {displaystyle |v|<varepsilon } .

Риманово многообразие M {displaystyle M} называется симметрическим, если центральная симметрия определена для каждой точки и при этом является изометрией M {displaystyle M} .

Если то же условие выполняется для локальной геодезической симметрии, то M {displaystyle M} называется локально симметрическим пространством.

Связанные определения

• Односвязное симметрическое пространство считается неприводимым, если оно не изометрично произведению двух или более Римановых симметрических пространств.
  • Неприводимое симметрическое пространство называется пространством компактного типа, если оно имеет неотрицательную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
  • Неприводимое симметрическое пространство называется пространством некомпактного типа, если оно имеет неположительную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
• Рангом симметрического пространства называется максимальная размерность подпространства касательного пространства в некоторой (а значит — в любой) точке, на котором кривизна равна тождественно нулю.

Свойства

• Риманово многообразие является локально симметрическим тогда и только тогда, когда его тензор кривизны параллелен.

• Любое односвязное, полное локально симметрическое пространство является симметрическим.
  • В частности, универсальное накрытие локально симметрического пространства является симметрическим.

• Группа изометрий симметрического пространства действует на нём транзитивно.
  • В частности, любое симметрическое пространство является однородным пространством G / K {displaystyle G/K} , где G {displaystyle G} — группа Ли и K {displaystyle K} — её подгруппа.

• Любое односвязное симметрическое пространство изометрично произведению неприводимых.

• Ранг симметрического пространства всегда не меньше 1.
  • Если ранг равен 1, то секционная кривизна положительна или отрицательна во всех секционных направлениях, и пространство является неприводимым.
  • Пространства Евклидова типа имеют ранг, равный их размерности, и изометричны Евклидову пространству этой размерности.

Классификация

Любое симметрическое пространство является однородным G / K {displaystyle G/K} , ниже дана классификация через G {displaystyle G} и K {displaystyle K} , обозначения прострнаств те же, что у Картана.

Вариации и обобщения

Определение через группы Ли

Более общее определение даётся на языке групп Ли. Обобщённое симметрическое пространство —это регулярное накрытие однородного пространства G / K {displaystyle G/K} , где G {displaystyle G} группа Ли и

K = { g ∈ G : σ ( g ) = g } {displaystyle K={gin G:sigma (g)=g}}

для некоторой инволюции σ : G → G {displaystyle sigma colon G o G} .

• Любое симметрическое пространство является обобщенным симметрическим пространством. При этом инволюция σ : G → G {displaystyle sigma colon G o G} группы изометрий G {displaystyle G} пространства определяется как σ : h ↦ s p ∘ h ∘ s p {displaystyle sigma colon hmapsto s_{p}circ hcirc s_{p}}
  • Обратное верно, если K {displaystyle K} компактна.

Эти обобщенные симметрические пространства включают псевдо-Римановы симметрические пространств, в которых Риманова метрика заменяется псевдо-Римановой метрики. В частности

• Пространство Минковского
• пространство де Ситтера
• Пространство анти-де Ситтера

Слабо симметрические пространства

В 1950-х годах Атле Сельберг дал определение слабо симметрического пространства. Они определяются как Римановы многообразия с транзитивной группой изометрий такой, что для каждой точки p {displaystyle p} в M {displaystyle M} и касательного вектора v {displaystyle v} в p {displaystyle p} , есть изометрия i {displaystyle i} , зависящая от v {displaystyle v} в p {displaystyle p} , такая, что

• i {displaystyle i} фиксирует p {displaystyle p} ;
• d i ( v ) = − v {displaystyle di(v)=-v} .

Если i {displaystyle i} можно выбрать независимо от v {displaystyle v} , то пространство является симметрическим.

Классификация слабо симметрических пространств дана Ахиезером и Винбергом и основана на классификации периодических автоморфизмов комплексных полупростых алгебр Ли.

Сферические пространства

Компактное однородное пространство G / K {displaystyle G/K} называется сферическим, если любое неприводимое представление группы G {displaystyle G} имеет не более одного K − {displaystyle K-} инвариантного вектора. Симметрические пространства являются сферическими.

Эрмитовы симметрические пространствах

Симметрическое пространство, которое дополнительно снабжено параллельной комплексной структурой, согласованной с Римановой метрикой, называется Эрмитовым симметрическим пространством.