Неравенство Чебышёва

Неравенство Чебышёва (или неравенство Бьенеме — Чебышёва) — неравенство в теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым.

Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

Неравенство Чебышёва в теории меры

Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства L p {displaystyle L_{p}} в слабое пространство L p {displaystyle L_{p}} .

Формулировки

• Пусть ( X , F , μ ) {displaystyle (X,;{mathcal {F}},;mu )} — пространство с мерой. Пусть также
  • A ∈ F {displaystyle Ain {mathcal {F}}}
  • ϕ ( x ) ⩾ 0 {displaystyle phi (x)geqslant 0} — суммируемая на A {displaystyle A} функция
  • c > 0 {displaystyle c>0} .

Тогда справедливо неравенство: μ ( { x : x ∈ A , ϕ ( x ) ⩾ c } ) ⩽ 1 c ∫ A ϕ ( x ) μ ( d x ) {displaystyle mu {igl (}{x:xin A,phi (x)geqslant c}{igr )}leqslant {frac {1}{c}}int limits _{A}phi (x)mu (dx)} .

• В более общем виде:

Если g {displaystyle g} — неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения ϕ {displaystyle phi } , то μ ( { x ∈ A : ϕ ( x ) ⩾ t } ) ⩽ 1 g ( t ) ∫ A g ∘ ϕ μ ( d x ) . {displaystyle mu {igl (}{xin A,:,,phi (x)geqslant t}{igr )}leqslant {1 over g(t)}int _{A}gcirc phi ,mu (dx).}

• В терминах пространства L p {displaystyle L_{p}} :

Пусть ϕ ( x ) ∈ L p {displaystyle phi (x)in L_{p}} . Тогда μ ( { x ∈ A | | ϕ ( x ) | > t } ) ⩽ ‖ ϕ ‖ p p t p . {displaystyle mu {Bigl (}{igl {}xin A,{ig |},|phi (x)|>t{igr }}{Bigr )}leqslant {frac {|phi |_{p}^{p}}{t^{p}}}.}

Неравенство Чебышёва может быть получено, как следствие из неравенства Маркова.

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.

Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина X : Ω → R {displaystyle Xcolon Omega ightarrow mathbb {R} } определена на вероятностном пространстве ( Ω , F , P ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} , а её математическое ожидание μ {displaystyle mu } и дисперсия σ 2 {displaystyle sigma ^{2}} конечны. Тогда

P ( | X − μ | ⩾ a ) ⩽ σ 2 a 2 {displaystyle mathbb {P} left(|X-mu |geqslant a ight)leqslant {frac {sigma ^{2}}{a^{2}}}} ,

где a > 0 {displaystyle a>0} .

Если a = k σ {displaystyle a=ksigma } , где σ {displaystyle sigma } — стандартное отклонение и k > 0 {displaystyle k>0} , то получаем

P ( | X − μ | ⩾ k σ ) ⩽ 1 k 2 {displaystyle mathbb {P} left(|X-mu |geqslant ksigma ight)leqslant {frac {1}{k^{2}}}} .

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на 2 {displaystyle 2} стандартных отклонения, с вероятностью меньше 25 % {displaystyle 25%} . Отклоняется от среднего на 3 {displaystyle 3} стандартных отклонения с вероятностью меньше 11.12 % {displaystyle 11.12%} . Иными словами, случайная величина укладывается в 2 {displaystyle 2} стандартных отклонения с вероятностью 75 % {displaystyle 75%} и в 3 {displaystyle 3} стандартных отклонения с вероятностью 88.88 % {displaystyle 88.88%}

Для важнейшего случая одномодальных распределений неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь 4/9. Таким образом, граница в 3 {displaystyle 3} стандартных отклонения включает 95.06 % {displaystyle 95.06%} значений случайной величины. В отличие от нормального распределения, где 3 {displaystyle 3} стандартных отклонения включают 99.73 % {displaystyle 99.73%} значений случайной величины.