Принцип Мопертюи

8-04-2022, 00:00

Принцип Мопертюи — принцип, согласно которому консервативная голономная система в классической механике изменяет своё состояние так, чтобы интеграл от корня квадратного её кинетической энергии был минимален на траектории движения. Назван по имени автора — Пьера Мопертюи.

Формулировка

Рассмотрим консервативную голономную систему с энергией E {displaystyle E} и потенциальной энергией U {displaystyle U} . Тогда изменение её состояния происходит таким образом, чтобы ∫ E − U d s = m i n {displaystyle int {sqrt {E-U}}ds=min} .

Доказательство

Рассмотрим вариацию δ ∫ E − U d s = ∫ { E − U δ d s − δ U 2 E − U d s } = 0 {displaystyle delta int {sqrt {E-U}}ds=int left{{sqrt {E-U}}delta ds-{frac {delta U}{2{sqrt {E-U}}}}ds ight}=0} . Воспользуемся равенствами δ d s = d x d s δ d x {displaystyle delta ds={frac {dx}{ds}}delta dx} и δ U = ∂ U ∂ x δ x {displaystyle delta U={frac {partial U}{partial x}}delta x} . Получим ∫ E − U d x d s δ d x − ∫ ∂ U ∂ x 2 E − U δ x d s = 0 {displaystyle int {sqrt {E-U}}{frac {dx}{ds}}delta dx-int {frac {frac {partial U}{partial x}}{2{sqrt {E-U}}}}delta xds=0} . Интегрируя первое слагаемое по частям, получаем: ∫ 1 2 E − U d x d s δ d x = E − U d x d s δ x | 1 2 − ∫ 1 2 d d s { E − U d x d s } δ x d s {displaystyle int _{1}^{2}{sqrt {E-U}}{frac {dx}{ds}}delta dx={Bigl .}{sqrt {E-U}}{frac {dx}{ds}}delta x{Bigr |}_{1}^{2}-int _{1}^{2}{frac {d}{ds}}left{{sqrt {E-U}}{frac {dx}{ds}} ight}delta xds} . Первый член обращается в нуль вследствие вариаций δ x {displaystyle delta x} на концах отрезка интегрирования. Вследствие этого получаем выражение для вариации действия ∫ { d d s [ E − U d x d s ] + 1 2 E − U ∂ U ∂ x } δ x d s = 0 {displaystyle int left{{frac {d}{ds}}left[{sqrt {E-U}}{frac {dx}{ds}} ight]+{frac {1}{2{sqrt {E-U}}}}{frac {partial U}{partial x}} ight}delta xds=0} Подынтегральное выражение должно быть равно нулю вследствие произвольности вариации. Получаем d d s [ E − U d x d s ] = − 1 2 E − U ∂ U ∂ x {displaystyle {frac {d}{ds}}left[{sqrt {E-U}}{frac {dx}{ds}} ight]=-{frac {1}{2{sqrt {E-U}}}}{frac {partial U}{partial x}}} . С учётом равенств V = 2 m E − U {displaystyle V={sqrt {frac {2}{m}}}{sqrt {E-U}}} , d t = d s V = m 2 d s E − U {displaystyle dt={frac {ds}{V}}={sqrt {frac {m}{2}}}{frac {ds}{sqrt {E-U}}}} получим правильные уравнения движения m d 2 x d t 2 = − ∂ U ∂ x {displaystyle m{frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{frac {partial U}{partial x}}} . Этим доказывается справедливость принципа ∫ E − U d s = m i n {displaystyle int {sqrt {E-U}}ds=min} .


  • Резольвента интегрального уравнения
  • Биортогонализация Ланцоша
  • Принцип Герца
  • Теорема Дирихле о рядах Фурье
  • Числа Леонардо

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования