Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

18-04-2022, 22:00

Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. А именно: если α {displaystyle alpha } — алгебраическое число степени n > 1 {displaystyle n>1} , а p {displaystyle p} и q {displaystyle q} — любые целые числа ( q ≠ 0 ) {displaystyle (q eq 0)} , то имеет место неравенство

| α − p q | > C q n {displaystyle left|alpha -{frac {p}{q}} ight|>{frac {C}{q^{n}}}}

где C {displaystyle C} — положительная константа, зависящая только от α {displaystyle alpha } и выражаемая в явном виде через сопряженные с α {displaystyle alpha } величины.

С помощью этой теоремы Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число, представляемое рядом с быстро убывающими членами, например

ξ = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n ! . {displaystyle xi =sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{2^{n!}}}.}

Обобщения

При n = 2 {displaystyle n=2} теорема Лиувилля дает неулучшаемый результат. Для n ≥ 3 {displaystyle ngeq 3} теорема Лиувилля неоднократно усиливалась.

В 1909 году Туэ установил, что для алгебраических чисел α {displaystyle alpha } степени n {displaystyle n} и ν > n 2 + 1 {displaystyle u >{frac {n}{2}}+1} справедливо неравенство

| α − p q | > C q ν {displaystyle left|alpha -{frac {p}{q}} ight|>{frac {C}{q^{ u }}}} (*)

Зигель улучшил результат Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при

ν > min s = { 1 , 2 , … , n − 1 } ( n s + 1 + s ) {displaystyle u >min _{s={1,;2,;ldots ,;n-1}}left({frac {n}{s+1}}+s ight)} , где s {displaystyle s} — целое,

в частности, при ν > 2 n {displaystyle u >2{sqrt {n}}} . Позже Ф. Дайсон доказал справедливость этого неравенства при ν > 2 n {displaystyle u >{sqrt {2n}}} . Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом ν > 2 {displaystyle u >2} . Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любое иррациональное число ξ {displaystyle xi } , алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений p / q {displaystyle p/q} , удовлетворяющих неравенству

| ξ − p q | < 1 q 2 {displaystyle left|xi -{frac {p}{q}} ight|<{frac {1}{q^{2}}}} .

Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная C = C ( α , ν ) {displaystyle C=C(alpha ,; u )} в неравенстве зависит от величин α {displaystyle alpha } и ν {displaystyle u } .


  • Числа Пизо
  • Теорема Цыбенко
  • Порядок роста
  • Теорема Ландау
  • Квантили распределения Стьюдента

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования