Вариация функционала

Вариация функционала, или первая вариация функционала, — обобщение понятия дифференциала функции одной переменной, главная линейная часть приращения функционала вдоль определенного направления. Понятие используется в теории экстремальных задач для получения необходимых и достаточных условий экстремума. Именно такой смысл вкладывается в этот термин, начиная с работы 1762 года Ж. Лагранжа. Ж. Лагранж рассматривал по преимуществу функционалы классического вариационного исчисления (действие) вида:

J ( x ) = ∫ t 0 t 1 L ( t , x ( t ) , x ˙ ( t ) ) d t . ( ∗ ) {displaystyle J(x)=int limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,;x(t),;{dot {x}}(t)),dt.qquad (*)}

Формальное определение

Рассмотрим изменение функционала (*) от одной точки функционального пространства к другой (от одной функции к другой). Для этого сделаем замену x ( t ) ↦ x 1 ( t ) − x ( t ) {displaystyle x(t)mapsto x_{1}(t)-x(t)} и подставим в выражение (*). При допущении о непрерывной дифференцируемости L {displaystyle L} имеет место равенство, аналогичное выражению для дифференциала функции:

J ( x 1 ) = J ( x ) + J 1 ( δ x ) + ε r ( x , x 1 ) , {displaystyle J(x_{1})=J(x)+J_{1}(delta x)+varepsilon r(x,;x_{1}),}

где остаточный член | r ( x , x 1 ) | → 0 {displaystyle |r(x,;x_{1})| o 0} — расстояние между функциями и ε → 0 {displaystyle varepsilon o 0} , а δ x ( t ) = x 1 ( t ) − x ( t ) {displaystyle delta x(t)=x_{1}(t)-x(t)} . При этом линейный функционал J 1 ( δ x ) {displaystyle J_{1}(delta x)} называется (первой) вариацией функционала J ( x ) {displaystyle J(x)} и обозначают через δ J {displaystyle delta J} .

Применительно к функционалу (*) для первой вариации имеет место равенство с точностью до величины порядка высшего, чем | r ( δ x ) | {displaystyle |r(delta x)|} :

δ J ( x ) = ∫ t 0 t 1 ( L x ( t , x ( t ) , x ˙ ( t ) ) δ x + p ( t ) δ x ˙ ) d t = ∫ t 0 t 1 ( L x ( t , x ( t ) , x ˙ ( t ) ) − p ˙ ( t ) ) δ x d t + p ( t ) δ x ) | t 0 t 1 , {displaystyle delta J(x)=int limits _{t_{0}}^{t_{1}}(L_{x}(t,;x(t),;{dot {x}}(t)),delta x+p(t),delta {dot {x}}),dt=int limits _{t_{0}}^{t_{1}}(L_{x}(t,;x(t),;{dot {x}}(t))-{dot {p}}(t)),delta x,dt+p(t),delta x)|_{t_{0}}^{t_{1}},}

где

p ( t ) = L x ˙ ( t , x ( t ) , x ˙ ( t ) ) {displaystyle p(t)=L_{dot {x}}(t,;x(t),;{dot {x}}(t))}

- обобщённый импульс.

При этом p ( t ) δ x | t 0 t 1 = 0 {displaystyle p(t),delta x|_{t_{0}}^{t_{1}}=0} , поскольку δ x ( t 0 ) = δ x ( t 1 ) = 0. {displaystyle delta x(t_{0})=delta x(t_{1})=0.}

Равенство нулю первой вариации для всех δ x {displaystyle delta x} является необходимым условием экстремума функционала J ( x ) {displaystyle J(x)} . Для функционала (*) из этого необходимого условия и основной леммы вариационного исчисления следует уравнение Эйлера:

p ˙ ( t ) = L x ( t , x ( t ) , x ˙ ( t ) ) . {displaystyle {dot {p}}(t)=L_{x}(t,;x(t),;{dot {x}}(t)).}

Аналогичным образом определяются вариации более высоких порядков.

Общее определение первой вариации в бесконечномерном анализе было дано французским математиком Рене Гато в 1913 году. По сути своей определение Гато тождественно с определением Лагранжа.

Первая вариация функционала является однородным, но не обязательно линейным функционалом, вариация функционала при дополнительном предположении о линейности и непрерывности (по δ x {displaystyle delta x} ) выражения δ J ( x , δ x ) {displaystyle delta J(x,;delta x)} обычно называется производной Гато. В современной математике термины «вариация Гато», «производная Гато», «дифференциал Гато» более употребимы, чем вариация функционала. При этом термин «вариация функционала» сохраняется лишь для функционалов классического вариационного исчисления.