Теорема Бараньяи

Теорема Бараньяи — теорема о разбиениях полных гиперграфов. Доказана Жолтом Бараньяи и названа его именем.

Формулировка

Если 2 ⩽ r < k {displaystyle 2leqslant r<k} являются натуральными числами и r делит k, то полный гиперграф K r k {displaystyle K_{r}^{k}} можно разложить на 1-факторы.

Замечания

• K r k {displaystyle K_{r}^{k}} — это гиперграф с k вершинами, в котором каждое подмножество из r вершин образует гиперребро.
• 1-фактор этого гиперграфа — это набор гиперрёбер, которые содержат каждую вершину в рёбрах ровно раз, что эквивалентно разбиению вершин на подмножества размера r.

Таким образом, теорема утверждает, что k вершин гиперграфа могут быть разбиты на подмножества r вершин ( k r ) r k = ( k − 1 r − 1 ) {displaystyle {inom {k}{r}}{frac {r}{k}}={inom {k-1}{r-1}}} различными способами таким образом, что каждое r-элементное подмножество появляется ровно раз в разбиении.

Случай r = 2 {displaystyle r=2}

В специальном случае r = 2 {displaystyle r=2} мы имеем полный граф K n {displaystyle K_{n}} с n {displaystyle n} вершинами и хотим раскрасить рёбра в ( n 2 ) 2 n = n − 1 {displaystyle {inom {n}{2}}{frac {2}{n}}=n-1} цветов так, что рёбра каждого цвета образуют совершенное паросочетание. Теорема Бараньяи утверждает, что мы можем это сделать, если n {displaystyle n} чётно.

История

Случай r = 2 можно переформулировать как утверждение, что любой полный граф с чётным числом вершин имеет рёберную раскраску, число цветов которой равно его степени, или, эквивалентно, что рёбра могут быть разбиты на совершенные паросочетания. Это можно использовать для создания круговых турниров и решение было известно в 19-м веке. Случай k = 2r также прост.

Случай r = 3 рассмотрел в 1963 году Р. Пелтесон. Общий случай доказал в 1975 году Жолт Бараньяи.