Теория потенциала
Теория потенциала — раздел математики и математической физики, посвящённый изучению свойств дифференциальных уравнений в частных производных в областях с достаточно гладкой границей посредством введения специальных видов интегралов, зависящих от определённых параметров, называемых потенциалами.
Абстрактная теория потенциала — обобщение теории потенциала на абстрактные топологические пространства; в качестве основного абстрактной теории используется понятие гармонического пространства — произвольного топологического пространства, снабжённого пучком непрерывных вещественных функций, обладающих (зафиксированными аксиоматически) свойствами, характерными для гармонических функций.
История
Изначально возникла как часть небесной механики, изучающая свойства сил притяжения, действующих согласно закону всемирного тяготения. Основной вклад в создание и первоначальное развитие теории внесли Ньютон, Лагранж, Лежандр, Лаплас. В частности, Лагранж показал, что поле сил тяготения является потенциальным.
Начиная с Гаусса метод потенциалов начал применяться также для задач электростатики и магнетизма, в качестве потенциалов стали рассматриваться «массы» (заряды, намагниченность) произвольного знака. В рамках развития теории в XIX веке выделились основные краевые задачи: задача Дирихле, задача Неймана, задача Робена, задача о выметании масс, значительный вклад в изучение основных краевых задач в конце XIX века внесли Ляпунов и Стеклов.
Результаты теории существенно обобщены в начале XX века с использованием аппарата теории меры и обобщённых функций. Впоследствии в теории потенциалов задействованы аналитические, гармонические и субгармонические функции, инструментарий теорией вероятностей.
В 1950-е годы на основе методов топологии и функционального анализа разработана аксиоматическая абстрактная теория потенциалов.
Основные виды потенциалов
Логарифмические потенциалы (двумерные потенциалы)
Потенциал площади
На плоскости объёмным логарифмическим потенциалом (или потенциалом площади) называется интеграл вида
V ( M ) = ∫ D ρ ( Q ) ln 1 R Q M d σ Q {displaystyle V(M)=int limits _{D} ho (Q)ln {frac {1}{R_{QM}}}dsigma _{Q}} .Если плотность ρ ( M ) {displaystyle ho (M)} непрерывна вместе со своими первыми производными, то объёмный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона:
Δ V = − 2 π ρ {displaystyle {Delta }V=-{2pi ho }}Логарифмический потенциал простого слоя
В двумерном случае потенциалом простого слоя называется интеграл:
V ( M ) = ∫ C μ ( P ) ln 1 R M P d l P {displaystyle V(M)=int limits _{C}mu (P)ln {frac {1}{R_{MP}}}dl_{P}} ,где C {displaystyle C} — некоторая кривая.
Логарифмический потенциал двойного слоя
Потенциалом двойного слоя на плоскости называется интеграл:
W ( M ) = − ∫ C ν ( P ) ∂ ∂ n P ln 1 R M P d l P {displaystyle W(M)=-int limits _{C} u (P){frac {partial }{partial n_{P}}}ln {frac {1}{R_{MP}}}dl_{P}} ,где n P {displaystyle mathbf {n} _{P}} — внешняя нормаль к кривой C {displaystyle C} в точке P {displaystyle P} . В случае незамкнутой кривой направление внешней нормали выбирается произвольно.
Трёхмерные потенциалы
Объёмный потенциал
Пусть в ограниченной области D {displaystyle D} задана функция ρ ( M ) {displaystyle ho (M)} , интеграл
V ( M ) = ∫ D ρ ( Q ) R Q M d V {displaystyle V(M)=int limits _{D}{frac { ho (Q)}{R_{QM}}}dV}называется объёмным потенциалом.
Функция 1 R Q M {displaystyle {frac {1}{R_{QM}}}} представляет собой, определённый во всех точках M ≠ Q {displaystyle M eq Q} потенциал единичного точечного заряда, сосредоточенного в точке Q {displaystyle Q} . Если в области D {displaystyle D} непрерывно распределён заряд с объёмной плотностью ρ ( M ) {displaystyle ho (M)} , то в силу принципа суперпозиции естественно предполагать, что потенциал, создаваемый данным распределением объёмного заряда, выражается вышеприведённым интегралом. Функция ρ ( M ) {displaystyle ho (M)} называется плотностью потенциала.
Если плотность ρ ( M ) {displaystyle ho (M)} непрерывна вместе со своими первыми производными, то объёмный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона:
Δ V = − 4 π ρ {displaystyle {Delta }V=-{4pi ho }}Поверхностные потенциалы
Потенциал простого слояПотенциалом простого слоя в трёхмерном случае называется интеграл
V ( M ) = ∫ S μ ( P ) d S P R M P , {displaystyle V(M)=int limits _{S}mu (P){frac {dS_{P}}{R_{MP}}},}где S {displaystyle S} — некоторая поверхность, μ ( P ) {displaystyle mu (P)} — функция, заданная на поверхности S {displaystyle S} , она называется плотностью потенциала простого слоя.
Свойства:
Потенциалом двойного слоя в трёхмерном случае называется интеграл:
W ( M ) = − ∫ S ν ( P ) ∂ ∂ n P 1 R M P d S P , {displaystyle W(M)=-int limits _{S} u (P){frac {partial }{partial n_{P}}}{frac {1}{R_{MP}}}dS_{P},}где S {displaystyle S} — двусторонняя поверхность, n P {displaystyle mathbf {n} _{P}} — внешняя нормаль к поверхности S {displaystyle S} в точке P {displaystyle P} (в том случае, когда поверхность S {displaystyle S} незамкнута, внешняя нормаль выбирается произвольно), ν ( P ) {displaystyle u (P)} — функция, заданная на поверхности S {displaystyle S} , она называется плотностью потенциала двойного слоя.
Выражение для потенциала двойного слоя также может быть переписано в виде:
W ( M ) = ∫ S ν ( P ) cos φ R M P 2 d S P , {displaystyle W(M)=int limits _{S} u (P){frac {cos varphi }{R_{MP}^{2}}}dS_{P},}где φ {displaystyle varphi } — угол между внутренней нормалью к поверхности S {displaystyle S} в точке P {displaystyle P} и вектором P M {displaystyle mathbf {PM} } .
Свойства: