Нормальная подгруппа

Нормальная подгруппа (также инвариантная подгруппа или нормальный делитель) — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.

Определения

Подгруппа N {displaystyle N} группы G {displaystyle G} называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента n {displaystyle n} из N {displaystyle N} и любого g {displaystyle g} из G {displaystyle G} элемент g n g − 1 {displaystyle gng^{-1}} лежит в N {displaystyle N} :

N ◃ G ⟺ ∀ n ∈ N , ∀   g ∈ G {displaystyle N riangleleft G,iff ,forall ,nin N,forall gin G} g n g − 1 ∈ N . {displaystyle gng^{-1}in {N}.}

Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:

Для любого g {displaystyle g} из G {displaystyle G} g N g − 1 ⊆ N {displaystyle gNg^{-1}subseteq N} .

Для любого g {displaystyle g} из G {displaystyle G} g N g − 1 = N {displaystyle gNg^{-1}=N} .

Множества левых и правых смежных классов N {displaystyle N} в G {displaystyle G} совпадают.

Для любого g {displaystyle g} из G {displaystyle G} g N = N g {displaystyle gN=Ng} .

N {displaystyle N} изоморфна объединению классов сопряжённых элементов.

Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

Примеры

• { e } {displaystyle {e}} и G {displaystyle G} — всегда нормальные подгруппы G {displaystyle G} . Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа G {displaystyle G} называется простой.

• Центр группы — нормальная подгруппа.

• Коммутант группы — нормальная подгруппа.

• Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.

• Все подгруппы N {displaystyle N} абелевой группы G {displaystyle G} нормальны, так как g N = N g {displaystyle gN=Ng} . Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.

• Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.

• В группе кубика Рубика подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

Свойства

• Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.
• Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа.
• Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.
• Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
• Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если p {displaystyle p} — наименьший простой делитель порядка G {displaystyle G} , то любая подгруппа индекса p {displaystyle p} нормальна.
• Если N {displaystyle N} — нормальная подгруппа в G {displaystyle G} , то на множестве левых (правых) смежных классов G / N {displaystyle G/N} можно ввести групповую структуру по правилу

( g 1 N ) ( g 2 N ) = ( g 1 g 2 ) N {displaystyle (g_{1}N)(g_{2}N)=(g_{1}g_{2})N} Полученное множество называется факторгруппой G {displaystyle G} по N {displaystyle N} .

• N {displaystyle N} нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах G / N {displaystyle G/N} .
• Каждая нормальная подгруппа является квазинормальной

Исторические факты

Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.