Дифференциальная форма


Дифференциальная форма порядка k {displaystyle k} , или k {displaystyle k} -форма, — кососимметрическое тензорное поле типа ( 0 , k ) {displaystyle (0,k)} на многообразии.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство k {displaystyle k} -форм на многообразии M {displaystyle M} обычно обозначают Ω k ( M ) {displaystyle Omega ^{k}(M)} .

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии дифференциальная форма степени k {displaystyle k} , или просто k {displaystyle k} -форма, — это гладкое сечение ∧ k T ∗ M {displaystyle wedge ^{k}T^{*}M} , то есть k {displaystyle k} -ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,

  • значение k {displaystyle k} -формы на наборе из k {displaystyle k} штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
  • значение k {displaystyle k} -формы в точке x {displaystyle x} многообразия есть кососимметрический k {displaystyle k} -линейный функционал на T x M {displaystyle T_{x}M} .

Через локальные карты

k {displaystyle k} -формой на R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} будем называть выражение следующего вида

ω = ∑ 1 ⩽ i 1 < i 2 < … < i k ⩽ n f i 1 i 2 … i k ( x 1 , … , x n ) d x i 1 ∧ d x i 2 ∧ … ∧ d x i k {displaystyle omega =sum _{1leqslant i_{1}<i_{2}<ldots <i_{k}leqslant n}f_{i_{1}i_{2}ldots i_{k}}(x^{1},ldots ,x^{n}),dx^{i_{1}}wedge dx^{i_{2}}wedge ldots wedge dx^{i_{k}}}

где f i 1 i 2 … i k {displaystyle f_{i_{1}i_{2}ldots i_{k}}} — гладкие функции, d x i {displaystyle dx^{i}} — дифференциал i {displaystyle i} -ой координаты x i {displaystyle x^{i}} (функция от вектора, возвращающая его координату с номером i {displaystyle i} ), а ∧ {displaystyle wedge } — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения

  • Для k {displaystyle k} -формы ω {displaystyle omega } её внешний дифференциал (также просто дифференциал) — это ( k + 1 ) {displaystyle (k+1)} -форма, в координатах имеющая вид d ω = ∑ 1 ⩽ i 1 < i 2 < … < i k ⩽ n ∂ f i 1 i 2 … i k ∂ x j ( x 1 , … , x n ) d x j ∧ d x i 1 ∧ d x i 2 ∧ … ∧ d x i k {displaystyle domega =sum _{1leqslant i_{1}<i_{2}<ldots <i_{k}leqslant n}{frac {partial f_{i_{1}i_{2}ldots i_{k}}}{partial x^{j}}}(x^{1},dots ,x^{n}),dx^{j}wedge dx^{i_{1}}wedge dx^{i_{2}}wedge ldots wedge dx^{i_{k}}}
  • для инвариантного определения дифференциала нужно определить дифференциал функций, то есть 0 {displaystyle 0} -форм, затем дифференциал 1 {displaystyle 1} -форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по R {displaystyle R} -линейности и градуированному правилу Лейбница:
    • d F ( v ) = v ( F ) {displaystyle dF(v)=v(F)} — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
    • d ω ( u , v ) = u ( ω ( v ) ) − v ( ω ( u ) ) − ω ( [ u , v ] ) {displaystyle domega (u,v)=u(omega (v))-v(omega (u))-omega ([u,v])} — значение дифференциала 1 {displaystyle 1} -формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на значение формы на коммутаторе.
    •   d ( ω k ∧ ϑ p ) = ( d ω k ) ∧ ϑ p + ( − 1 ) k ω k ∧ ( d ϑ p ) {displaystyle d(omega ^{k}wedge vartheta ^{p})=(domega ^{k})wedge vartheta ^{p}+(-1)^{k}omega ^{k}wedge (dvartheta ^{p})} — где верхние индексы k {displaystyle k} и p {displaystyle p} обозначают порядки соответствующих форм.
  • Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешний дифференциал равен 0.
  • k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой ( k − 1 ) {displaystyle (k-1)} -формы.
  • Факторгруппа H d R k = Ω ¯ k / d Ω k − 1 {displaystyle H_{dR}^{k}={ar {Omega }}_{k}/dOmega _{k-1}} замкнутых k-форм по точным k-формам называется k {displaystyle k} -мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
  • Внутренней производной формы ω {displaystyle omega } степени n {displaystyle n} по векторному полю v {displaystyle mathbf {v} } (также подстановкой векторного поля в форму) называется форма i v ω ( u 1 , … , u n − 1 ) = ω ( v , u 1 , … , u n − 1 ) {displaystyle i_{mathbf {v} }omega (u_{1},dots ,u_{n-1})=omega (mathbf {v} ,u_{1},dots ,u_{n-1})}

Свойства

  • Для любой формы справедливо d ( d ω ) = 0 {displaystyle d(domega )=0} .
  • Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница: d ( ω k ∧ ω p ) = ( d ω k ) ∧ ω p + ( − 1 ) k ω k ∧ ( d ω p ) {displaystyle d(omega ^{k}wedge omega ^{p})=(domega ^{k})wedge omega ^{p}+(-1)^{k}omega ^{k}wedge (domega ^{p})}
  • Внутренняя производная линейна и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница: i X ( ω k ∧ ω p ) = ( i X ω k ) ∧ ω p + ( − 1 ) k ω k ∧ ( i X ω p ) {displaystyle i_{X}(omega ^{k}wedge omega ^{p})=(i_{X}omega ^{k})wedge omega ^{p}+(-1)^{k}omega ^{k}wedge (i_{X}omega ^{p})}
  • Формулы Картана. Для произвольной формы ω {displaystyle omega } и векторных полей X , Y , Z {displaystyle X,Y,Z} выполняются следующие соотношения L X d ω = d L X ω , {displaystyle {mathcal {L}}_{X}domega =d{mathcal {L}}_{X}omega ,} L X ω = i X d ω + d i X ω , {displaystyle {mathcal {L}}_{X}omega =i_{X}domega +di_{X}omega ,} (волшебная формула Картана) L X L Y ω − L Y L X ω = L [ X , Y ] ω , {displaystyle {mathcal {L}}_{X}{mathcal {L}}_{Y}omega -{mathcal {L}}_{Y}{mathcal {L}}_{X}omega ={mathcal {L}}_{[X,Y]}omega ,} L X i Y ω − i Y L X ω = i [ X , Y ] ω , {displaystyle {mathcal {L}}_{X}i_{Y}omega -i_{Y}{mathcal {L}}_{X}omega =i_{[X,Y]}omega ,} i X i Y ω + i Y i X ω = 0 , {displaystyle i_{X}i_{Y}omega +i_{Y}i_{X}omega =0,}
где L {displaystyle {mathcal {L}}} обозначает производную Ли.

Примеры

  • С точки зрения тензорного анализа 1-форма есть не что иное, как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке p {displaystyle p} многообразия M {displaystyle M} и отображающий элементы касательного пространства T p ( M ) {displaystyle T_{p}(M)} в множество вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } : ω ( p ) : T p ( M ) → R {displaystyle omega (p)colon T_{p}(M) ightarrow mathbb {R} }
  • Форма объёма — пример n {displaystyle n} -формы на n {displaystyle n} -мерном многообразии.
  • Симплектическая форма — замкнутая 2-форма ω {displaystyle omega } на 2 n {displaystyle 2n} -многообразии, такая что ω n ≠ 0 {displaystyle omega ^{n} ot =0} .

Применения

Векторный анализ

Дифференциальные формы позволяют записать основные операции векторного анализа в координатно-инвариантном виде и обобщить их на пространства любой размерности. Пусть I {displaystyle I} — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, а ∗ {displaystyle *} — оператор дуальности Ходжа (который, в частности, в трёхмерном пространстве реализует изоморфизм между 2-формами и векторными полями, а также между скалярами и псевдоскалярами). Тогда ротор и дивергенцию можно определить следующим способом:

rot v = ∗ d I ( v ) {displaystyle operatorname {rot} ,v=*,d,I(v)} div v = ∗ − 1 d ∗ ( v ) {displaystyle operatorname {div} ,v=*^{-1}d,*(v)}

Дифференциальные формы в электродинамике

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм в 4-мерном пространстве-времени. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

F = 1 2 F a b d x a ∧ d x b . {displaystyle { extbf {F}}={frac {1}{2}}F_{ab},{mathrm {d} }x^{a}wedge {mathrm {d} }x^{b}.}

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная обычному 4-вектору тока, имеет вид

J = J a ε a b c d d x b ∧ d x c ∧ d x d . {displaystyle { extbf {J}}=J^{a}varepsilon _{abcd},{mathrm {d} }x^{b}wedge {mathrm {d} }x^{c}wedge {mathrm {d} }x^{d}.}

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

d F = 0 {displaystyle mathrm {d} ,{ extbf {F}}={ extbf {0}}} d ∗ F = J {displaystyle mathrm {d} ,{*{ extbf {F}}}={ extbf {J}}}

где ∗ {displaystyle *} — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма ∗ F {displaystyle *mathbf {F} } также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие M {displaystyle M} с заданными на нём симплектической формой ω {displaystyle omega } и функцией H {displaystyle H} , называемой функцией Гамильтона. ω {displaystyle omega } задаёт в каждой точке X ∈ M {displaystyle Xin M} изоморфизм I {displaystyle I} кокасательного T X ∗ M {displaystyle T_{X}^{*}M} и касательного T X M {displaystyle T_{X}M} пространств по правилу

d H ( u ) = ω ( I d H , u ) ,     ∀ u ∈ T X M {displaystyle dH(mathbf {u} )=omega (IdH,mathbf {u} ),~~forall mathbf {u} in T_{X}M} ,

где d H {displaystyle dH} — дифференциал функции H {displaystyle H} . Векторное поле I d H {displaystyle IdH} на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций F {displaystyle F} и G {displaystyle G} на M {displaystyle M} определяется по правилу

[ F , G ] = ω ( I d F , I d G ) {displaystyle [F,G]=omega (IdF,IdG)}

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от k {displaystyle k} векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на M {displaystyle M} со значениями в векторном расслоении π : E → M {displaystyle pi colon E o M} определяются как сечения тензорного произведения расслоений

( ⋀ k T ∗ M ) ⊗ M E {displaystyle left(igwedge ^{k}T^{*}M ight)otimes _{M}E}

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение T M {displaystyle TM} .


  • Антикоммутативность
  • Теорема Ландау
  • Ретракция Шарафутдинова
  • Теорема Хартогса
  • Дважды стохастическая матрица

  •  

    • Яндекс.Метрика
    • Индекс цитирования