Дифференциальная алгебра

Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной C ( t ) {displaystyle C(t)} , операции дифференцирования соответствует дифференцирование по t {displaystyle t} . Теория создана Джозефом Риттом (1950) и его учеником Эллисом Колчином.

Определения

Дифференциальные кольца

Дифференциальное кольцо — это кольцо R, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями)

∂ : R → R {displaystyle partial colon R o R}

удовлетворяющими правилу произведения

∂ ( r 1 r 2 ) = ( ∂ r 1 ) r 2 + r 1 ( ∂ r 2 ) {displaystyle partial (r_{1}r_{2})=(partial r_{1})r_{2}+r_{1}(partial r_{2})}

для любых r 1 , r 2 ∈ R {displaystyle r_{1},r_{2}in R} . Подчеркнем, что в некоммутативном кольце правило d ( x y ) = x d y + y d x {displaystyle d(xy)=xdy+ydx} может не выполняться. В безындексной форме записи, если M : R × R → R {displaystyle Mcolon R imes R o R} — умножение в кольце, то правило произведения примет вид

∂ ∘ M = M ∘ ( ∂ ⊗ id ) + M ∘ ( id ⊗ ∂ ) . {displaystyle partial circ M=Mcirc (partial otimes operatorname {id} )+Mcirc (operatorname {id} otimes partial ).}

где f ⊗ g {displaystyle fotimes g} — отображение пары ( x , y ) {displaystyle (x,y)} в пару ( f ( x ) , g ( y ) ) {displaystyle (f(x),g(y))} .

Дифференциальные поля

Дифференциальное поле — это поле K, снабжённое дифференцированием. Дифференцирование должно подчиняться правилу Лейбница в форме

∂ ( u v ) = u ∂ v + v ∂ u {displaystyle partial (uv)=u,partial v+v,partial u}

так как умножение в поле коммутативно. Дифференцирование также должно быть дистрибутивно относительно сложения:

∂ ( u + v ) = ∂ u + ∂ v {displaystyle partial (u+v)=partial u+partial v}

Полем констант дифференциального поля K {displaystyle K} называется k = { u ∈ K | ∂ ( u ) = 0 } {displaystyle k={uin K|partial (u)=0}} .

Дифференциальная алгебра

Дифференциальной алгеброй над полем K называется K-алгебра A, в которой дифференцирования коммутируют с полем. То есть для любых k ∈ K {displaystyle kin K} и x ∈ A {displaystyle xin A} :

  ∂ ( k x ) = k ∂ x {displaystyle partial (kx)=kpartial x}

В безындексной форме записи, если η : K → A {displaystyle eta colon K o A} — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то

∂ ∘ M ∘ ( η × Id ) = M ∘ ( η × ∂ ) {displaystyle partial circ Mcirc (eta imes operatorname {Id} )=Mcirc (eta imes partial )}

Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых a , b ∈ K {displaystyle a,bin K} и x , y ∈ A {displaystyle x,yin A} :

∂ ( x y ) = ( ∂ x ) y + x ( ∂ y ) {displaystyle partial (xy)=(partial x)y+x(partial y)}

и

∂ ( a x + b y ) = a ∂ x + b ∂ y {displaystyle partial (ax+by)=a,partial x+b,partial y}

Дифференцирование в алгебре Ли

Дифференцирование алгебры Ли L {displaystyle L} — это линейное отображение δ : L → L {displaystyle delta colon L o L} , удовлетворяющее правилу Лейбница:

  δ ( [ a , b ] ) = [ a , δ ( b ) ] + [ δ ( a ) , b ] {displaystyle delta ([a,b])=[a,delta (b)]+[delta (a),b]}

Для любого a ∈ L {displaystyle ain L} оператор ad ⁡ ( a ) {displaystyle operatorname {ad} (a)} — дифференцирование на L {displaystyle L} , что следует из тождества Якоби. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Примеры

Если A {displaystyle A} — алгебра с единицей, то ∂ ( 1 ) = 0 {displaystyle partial (1)=0} , так как ∂ ( 1 ) = ∂ ( 1 × 1 ) = ∂ ( 1 ) + ∂ ( 1 ) {displaystyle partial (1)=partial (1 imes 1)=partial (1)+partial (1)} . Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.

Любое поле можно рассматривать как поле констант.

В поле Q ( t ) {displaystyle mathbb {Q} (t)} существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством ∂ ( t ) = 1 {displaystyle partial (t)=1} : из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по t {displaystyle t} . Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что

∂ ( u 2 ) = u ∂ ( u ) + ∂ ( u ) u = 2 u ∂ ( u ) {displaystyle partial (u^{2})=upartial (u)+partial (u)u=2upartial (u)}

В дифференциальном поле Q ( t ) {displaystyle mathbb {Q} (t)} нет решения дифференциального уравнения ∂ ( u ) = u {displaystyle partial (u)=u} , но можно расширить его до поля, содержащего функцию e t {displaystyle e^{t}} , имеющего решение этого уравнения.

Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется дифференциально замкнутым полем. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа.

Естественные примеры дифференцирований — частные производные, производные Ли, производная Пиншерле и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов над ними:

R ( ( ξ − 1 ) ) = { ∑ n < ∞ r n ξ n | r n ∈ R } . {displaystyle R((xi ^{-1}))=left{sum _{n<infty }r_{n}xi ^{n}|r_{n}in R ight}.}

Умножение в этом кольце определяется как

( r ξ m ) ( s ξ n ) = ∑ k = 0 m r ( ∂ k s ) ( m k ) ξ m + n − k . {displaystyle (rxi ^{m})(sxi ^{n})=sum _{k=0}^{m}r(partial ^{k}s){m choose k}xi ^{m+n-k}.}

Здесь ( m k ) {displaystyle {m choose k}} — биномиальный коэффициент. Отметим тождество

ξ − 1 r = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( ∂ n r ) ξ − 1 − n {displaystyle xi ^{-1}r=sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}(partial ^{n}r)xi ^{-1-n}}

следующее из

( − 1 n ) = ( − 1 ) n {displaystyle {-1 choose n}=(-1)^{n}}

и

r ξ − 1 = ∑ n = 0 ∞ ξ − 1 − n ( ∂ n r ) . {displaystyle rxi ^{-1}=sum _{n=0}^{infty }xi ^{-1-n}(partial ^{n}r).}

Градуированное дифференцирование

Пусть A {displaystyle A} — градуированная алгебра, D {displaystyle D} — однородное линейное отображение, d = | D | {displaystyle d=left|D ight|} . D {displaystyle D} называется однородной производной, если D ( a b ) = D ( a ) b + ϵ | a | | D | a D ( b ) {displaystyle D(ab)=D(a)b+epsilon ^{|a||D|}aD(b)} , ϵ = ± 1 {displaystyle epsilon =pm 1} при действии на однородные элементы A {displaystyle A} . Градуированная производная — это сумма однородных производных с одинаковым ϵ {displaystyle epsilon } .

Если ϵ = 1 {displaystyle epsilon =1} , определение совпадает с обычным дифференцированием.

Если ϵ = − 1 {displaystyle epsilon =-1} , то D ( a b ) = D ( a ) b + ( − 1 ) | a | a D ( b ) {displaystyle D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)} , для нечётных | D | {displaystyle left|D ight|} . Такие эндоморфизмы называются антипроизводными.

Примеры антипроизводных — внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм.

Градуированные производные супералгебр (то есть Z 2 {displaystyle mathbb {Z} _{2}} -градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными.