Теорема Ван-Обеля о треугольнике

Теорема Ван-Обеля – классическая теорема аффинной геометрии.

Формулировка

Если прямые A P {displaystyle AP} , B P {displaystyle BP} , C P {displaystyle CP} пересекают соответственно прямые B C {displaystyle BC} , C A {displaystyle CA} и A B {displaystyle AB} , содержащие стороны треугольника A B C {displaystyle ABC} соответственно в точках A 1 {displaystyle A_{1}} , B 1 {displaystyle B_{1}} и C 1 {displaystyle C_{1}} , то имеет место равенство отношений направленных отрезков:

A C 1 C 1 B + A B 1 B 1 C = A P P A 1 {displaystyle {frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={frac {AP}{PA_{1}}}} .

Замечания

• Если отрезки сонаправлены (одинаково направлены), то верхние знаки направленных отрезков можно убрать, и мы получим скалярный вариант теоремы ван Обеля: A C 1 C 1 B + A B 1 B 1 C = A P P A 1 {displaystyle {frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={frac {AP}{PA_{1}}}} .

О доказательствах

Обычно доказывается применением метода центров масс; доказательство можно также построить на основе теоремы Менелая.