Гипотеза Малера

Гипотеза Малера — гипотеза метрической теории классификации чисел о величине «меры трансцендентности» почти всех чисел. Была сформулирована К. Малером в 1932 г. Доказана В. Г. Спринджуком в 1965 г.

Формулировка

Рассмотрим приближения нуля значениями целочисленных полиномов P ( x ) = a 0 + a 1 x + … + a n x n {displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+ldots +a_{n}x^{n}} при значениях аргумента ω {displaystyle omega } , являющимися действительными или комплексными числами и при фиксированных n = 1 , 2 , … {displaystyle n=1,;2,;ldots } . Назовем высотой полинома величину h ( P ) = max ( | a 0 | , | a 1 | , … , | a n | ) {displaystyle h(P)=max(|a_{0}|,;|a_{1}|,;ldots ,;|a_{n}|)} и предположим, что она возрастает. Обозначим w n ( ω , H ) = min | P ( ω ) | {displaystyle w_{n}(omega ,H)=min |P(omega )|} . Здесь минимум берется по всем целочисленным полиномам P {displaystyle P} степени не более n {displaystyle n} , высоты не более H {displaystyle H} и с условием P ( ω ) ≠ 0 {displaystyle P(omega ) eq 0} . Обозначим w n ( ω ) = lim H → ∞ ¯ ln ⁡ 1 w n ( ω , H ) ln ⁡ H {displaystyle w_{n}(omega )={overline {lim _{H o infty }}}{dfrac {ln {dfrac {1}{w_{n}(omega ,H)}}}{ln H}}} w ( ω ) = lim H → ∞ ¯ 1 n w n ( ω ) {displaystyle w(omega )={overline {lim _{H o infty }}}{frac {1}{n}}w_{n}(omega )} . Пусть ω {displaystyle omega } — трансцендентное число. Введем обозначения: Θ n ( ω ) = 1 n w n ( ω ) {displaystyle Theta _{n}(omega )={frac {1}{n}}w_{n}(omega )} — для вещественных чисел, η n ( ω ) = 1 n w n ( ω ) {displaystyle eta _{n}(omega )={frac {1}{n}}w_{n}(omega )} — для комплексных чисел, Θ ( ω ) = sup ( n ) Θ n ( ω ) {displaystyle Theta (omega )=sup _{(n)}Theta _{n}(omega )} , где n = 1 , 2 , … {displaystyle n=1,;2,;ldots } , η ( ω ) = sup ( n ) η n ( ω ) {displaystyle eta (omega )=sup _{(n)}eta _{n}(omega )} , где n = 2 , 3 , … {displaystyle n=2,;3,;ldots } .

Гипотеза Малера утверждает, что Θ ( ω ) = 1 {displaystyle Theta (omega )=1} , η ( ω ) = 1 2 {displaystyle eta (omega )={frac {1}{2}}} .

Доказательство

Доказательство есть в статье.