Локально выпуклое пространство

Локально выпуклое пространство — линейное топологическое пространство с системой полунорм, удовлетворяющей некоторым условиям.

Определение

Линейное топологическое пространство X {displaystyle X} называется локально выпуклым пространством, если существует семейство полунорм μ {displaystyle mu } на X {displaystyle X} , удовлетворяющее двум условиям:

• Если p ( x ) = 0 {displaystyle p(x)=0} для каждого p ∈ μ {displaystyle pin mu } , то x = 0 {displaystyle x=0} .
• Если для произвольной точки x 0 {displaystyle x_{0}} пространства X {displaystyle X} , любой конечной системы полунорм p 1 , . . . , p n {displaystyle p_{1},...,p_{n}} из μ {displaystyle mu } и любой конечной системы положительных вещественных чисел ϵ 1 , . . . , ϵ n {displaystyle epsilon _{1},...,epsilon _{n}} рассмотреть (выпуклые) множества, состоящие из элементов x ∈ X {displaystyle xin X} , удовлетворяющих условию p i ( x − x 0 ) < ϵ i {displaystyle p_{i}(x-x_{0})<epsilon _{i}} с i = 1 , . . . , n {displaystyle i=1,...,n} , то все такие множества образуют базу топологии в X {displaystyle X} .

Свойства

• Локально выпуклые пространства хаусдорфовы.
• Последовательность { x n } {displaystyle left{x_{n} ight}} точек локально выпуклого пространства X {displaystyle X} сходится к x ∈ X {displaystyle xin X} в том и только том случае, если для каждой полунормы p ∈ μ {displaystyle pin mu } выполняется соотношение lim n → ∞ p ( x n − x ) = 0 {displaystyle lim _{n o infty }p(x_{n}-x)=0} .