Теорема Громова о числах Бетти

Теорема Громова о числах Бетти даёт верхнюю оценку на сумму чисел Бетти компактного риманова многообразия через нижнюю грань его секционных кривизн, размерность и диаметр.

Комментарии

• В частности, сумма чисел Бетти компактного риманова многообразия размерности n {displaystyle n} с неотрицательной секционной кривизной ограничено константой C ( n ) {displaystyle C(n)} .
  • Предположительно C ( n ) = 2 n {displaystyle C(n)=2^{n}} , то есть плоский n {displaystyle n} -мерный тор имеет максимальную сумму чисел Бетти среди всех n {displaystyle n} -мерных многообразий неотрицательной секционной кривизны.
  • Известны явные оценки, например C ( n ) = 10 3 n 4 + 9 n 3 + 6 n 2 {displaystyle C(n)=10^{3n^{4}+9n^{3}+6n^{2}}} .
• Теорема даёт оценку на эйлерову характеристику n {displaystyle n} -мерного многообразия неотрицательной секционной кривизны.
  • Предположительно все такие многообразия имеют неотрицательную эйлерову характеристику.