Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского

«Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского» — картина русского художника Н. П. Богданова-Бельского (1868—1945), написанная в 1895 году.

Описание

На картине изображена деревенская школа конца XIX века во время урока арифметики при вычислении в уме написанной на доске дроби. Учитель — реальный человек, Сергей Александрович Рачинский (1833—1902), ботаник и математик, профессор Московского университета. На волне народничества в 1872 году Рачинский вернулся в родное село Татево, где создал школу с общежитием для крестьянских детей, разработал уникальную методику обучения устному счёту, прививая деревенским ребятишкам его навыки и основы математического мышления. Эпизоду из жизни школы с творческой атмосферой, царившей на уроках, и посвятил своё произведение Богданов-Бельский, сам в прошлом ученик Рачинского.

На классной доске написан пример, который ученикам необходимо решить в уме:

10 2 + 11 2 + 12 2 + 13 2 + 14 2 365 . {displaystyle {frac {10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}}.}

.

Решение поставленной на картине задачи

Слагаемые, написанные на доске, обладают интересным свойством: 10 2 + 11 2 + 12 2 = 100 + 121 + 144 = 365 ; 13 2 + 14 2 = 169 + 196 = 365 {displaystyle {10^{2}+11^{2}+12^{2}=100+121+144=365};{13^{2}+14^{2}=169+196=365}} . То есть, результат вычисления равен 2.

Другие варианты вычисления:

10 2 + 11 2 + 12 2 + 13 2 + 14 2 = 10 2 + ( 10 + 1 ) 2 + ( 10 + 2 ) 2 + ( 10 + 3 ) 2 + ( 10 + 4 ) 2 {displaystyle 10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}=10^{2}+(10+1)^{2}+(10+2)^{2}+(10+3)^{2}+(10+4)^{2}} = 10 2 + ( 10 2 + 2 ⋅ 10 ⋅ 1 + 1 2 ) + ( 10 2 + 2 ⋅ 10 ⋅ 2 + 2 2 ) + ( 10 2 + 2 ⋅ 10 ⋅ 3 + 3 2 ) + ( 10 2 + 2 ⋅ 10 ⋅ 4 + 4 2 ) {displaystyle =10^{2}+(10^{2}+2cdot 10cdot 1+1^{2})+(10^{2}+2cdot 10cdot 2+2^{2})+(10^{2}+2cdot 10cdot 3+3^{2})+(10^{2}+2cdot 10cdot 4+4^{2})} = 5 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 ⋅ ( 1 + 2 + 3 + 4 ) + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 500 + 200 + 30 = 730 = 2 ⋅ 365. {displaystyle =5cdot 100+2cdot 10cdot (1+2+3+4)+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=500+200+30=730=2cdot 365.} 10 2 + 11 2 + 12 2 + 13 2 + 14 2 = ( 12 − 2 ) 2 + ( 12 − 1 ) 2 + 12 2 + ( 12 + 1 ) 2 + ( 12 + 2 ) 2 {displaystyle 10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}=(12-2)^{2}+(12-1)^{2}+12^{2}+(12+1)^{2}+(12+2)^{2}} = ( 12 2 − 2 ⋅ 12 ⋅ 2 + 2 2 ) + ( 12 2 − 2 ⋅ 12 ⋅ 1 + 1 2 ) + 12 2 + ( 12 2 + 2 ⋅ 12 ⋅ 2 + 2 2 ) + ( 12 2 + 2 ⋅ 12 ⋅ 1 + 1 2 ) {displaystyle =(12^{2}-2cdot 12cdot 2+2^{2})+(12^{2}-2cdot 12cdot 1+1^{2})+12^{2}+(12^{2}+2cdot 12cdot 2+2^{2})+(12^{2}+2cdot 12cdot 1+1^{2})} = 12 2 + 2 2 + 12 2 + 1 2 + 12 2 + 12 2 + 1 2 + 12 2 + 2 2 = 5 ⋅ 12 2 + 4 + 1 + 1 + 4 = 720 + 10 = 2 ⋅ 365. {displaystyle =12^{2}+2^{2}+12^{2}+1^{2}+12^{2}+12^{2}+1^{2}+12^{2}+2^{2}=5cdot 12^{2}+4+1+1+4=720+10=2cdot 365.}