Критерий согласия Кёйпера

Критерий согласия Кёйпера (также Купера) является развитием критерия согласия Колмогорова и был предложен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону, то есть для проверки гипотез вида H 0 : F n ( x ) = F ( x , θ ) {displaystyle H_{0}:F_{n}(x)=F(x, heta )} с известным вектором параметров теоретического закона.

В критерии Кёйпера используется статистика вида: V n = D n + + D n − {displaystyle V_{n}=D_{n}^{+}+D_{n}^{-}} , где

D n + = max ( i n − F ( x i , θ ) ) {displaystyle D_{n}^{+}=max {left({frac {i}{n}}-F(x_{i}, heta ) ight)}} , D n − = max ( F ( x i , θ ) − i − 1 n ) {displaystyle D_{n}^{-}=max {left(F(x_{i}, heta )-{frac {i-1}{n}} ight)}} , i = 1 , n ¯ {displaystyle i={ar {1,n}}} ,

n {displaystyle n} — объём выборки, x 1 , x 2 , . . . , x n {displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}} — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика n V n {displaystyle {sqrt {n}}V_{n}} в пределе подчиняется распределению:

G ( v ) = 1 − ∑ m = 1 ∞ 2 ( 4 m 2 v 2 − 1 ) e − 2 m 2 v 2 {displaystyle G(v)=1-sum _{m=1}^{infty }2(4m^{2}v^{2}-1)e^{-2m^{2}v^{2}}} .

Чтобы уменьшить зависимость распределения статистики от объёма выборки, можно использовать в критерии модификацию статистики вида

V = V n ( n + 0 , 155 + 0 , 24 / n ) {displaystyle V=V_{n}left({sqrt {n}}+0,155+0,24/{sqrt {n}} ight)} ,

или модификацию статистики вида

V n m o d = n ( D n + + D n − ) + 1 / ( 3 n ) {displaystyle V_{n}^{mod}={sqrt {n}}left(D_{n}^{+}+D_{n}^{-} ight)+1/(3{sqrt {n}})} .

В первом случае отличием распределения статистики от предельного закона можно пренебречь при n > 20 {displaystyle n>20} , во втором — при n > 30 {displaystyle n>30} .

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики.

Проверка сложных гипотез

При проверке сложных гипотез вида H 0 : F n ( x ) ∈ { F ( x , θ ) , θ ∈ Θ } {displaystyle H_{0}:F_{n}(x)in left{F(x, heta ), heta in Theta ight}} , где оценка θ ^ {displaystyle {hat { heta }}} скалярного или векторного параметра распределения F ( x , θ ) {displaystyle F(x, heta )} вычисляется по той же самой выборке, критерий согласия Кёйпера (как и все непараметрические критерии согласия) теряет свойство свободы от распределения.

При проверке сложных гипотез распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона F ( x , θ ) {displaystyle F(x, heta )} , соответствующего справедливой проверяемой гипотезе H 0 {displaystyle H_{0}} ; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни в коем случае нельзя.